CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
(. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức.
(. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường:
- Đặt nhân tử chung (thừa số chung).
- Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Nhóm nhiều hạng tử.
(. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung)
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
- Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số).
- Dùng phương pháp hệ bất định.
- Tìm nghiệm của đa thức.
- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ).
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN:
I. PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ
Bài1. Phân tích đa thức thành nhân tử..
A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x)
Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x
A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x)
= y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x)
= y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x)
= (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2)
= (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y)
= (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x)
= (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)]
= (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz).
Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có:
A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)]
= x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x)
= (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2)
= (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x)
= (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2)
= (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)]
= (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a3 + b3 + c3 -3abc
(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Lời giải:
a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc
Vậy: (x – y)