Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên.
Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Giải hệ phương trình

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có : (n3 + 5n)
6.
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
.
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q là các điểm bất kỳ lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh rằng 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2 . b) Giả sử M là một điểm cố định trên cạnh AB. Hãy xác định vị trí các điểm N, P, Q lần lượt trên các cạnh BC, CD, DA sao cho MNPQ là một hình vuông.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên
a) Tính
. b) Giải hệ phương trình :

a) Giải phương trình
b) Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình
có ít nhất một nghiệm nguyên.
Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F như hình a) Chứng minh rằng
. b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. Tính diện tích hình thang ABCD.
Cho x, y là hai số thực bất kì khác không.
Chứng minh rằng
. Dấu = xảy ra khi nào ?
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1998 Đại học khoa học tự nhiên
a) GiảI phương trình
. b) GiảI hệ phương trình :

Các số a, b thỏa mãn điều kiện :
Hãy tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 .
Cho các số a, b, c ( [0,1]. Chứng minh rằng {Mờ}
Cho đường tròn (O) bán kính R và hai điểm A, B cố định trên (O) sao cho AB < 2R. Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn
của đường tròn . a) Kẻ từ B đường tròn vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và (O) tại N. Gọi J là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường tròn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định. b) Xác định vị trí của M để chu vi ( AMB là lớn nhất.
a) Tìm các số nguyên dương n sao cho mỗi số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của một số nguyên dương. b) Cho các số x, y, z thay đổi thảo mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp
a) GiảI phương trình
. b) GiảI hệ phương trình :

Tìm max và min của biểu thức : A = x2y(4 – x – y) khi x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x ( 0, y ( 0, x + y ≤ 6.
Cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh rằng
.
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôI một khác nhau sao cho biểu thức
nhận giá trị nguyên dương.
Đề thi vào 10 hệ THPT