THCS HIỆP THUẬN
Đề thi HỌC SINH GIỎI năm học 2010 - 2011
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : Cho biểu thức :

a) Rút gọn A.
b) Nếu x ; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn : 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1
Hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A ?
Bài 2 : a) Giải phương trình :

b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
và

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và góc DAE = góc ECB
b) Cho góc BMC=1200 và
. Tính SEBC ?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
d) Kẻ

. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh
.
Bài 4 : a) Chứng minh bất đẳng thức sau:

(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
(với
)
Bài làm :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
THCS HIỆP THUẬN
Đáp án : Môn Toán 8 - năm học 2010 - 2011

Bài 1: a, Điều kiện: x

y; y
0 ; A = 2x(x+y)
b,Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1
2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1

2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2
A + (x – y + 1)2 = 2

A = 2 – (x – y + 1)2
(do (x – y + 1)
(với mọi x ; y)
A
2.
+ A = 2 khi



+ A = 1 khi
Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn:

+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2
Bài 2:
a)














b) Từ x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0

(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0





x2010 = y2010 = z2010
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2010 = 32011

z2010 = 32010

z = 3
Vậy x = y = z = 3
Bài 3:


Câu a: * Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh
EBD đồng dạng với
ECA (gg)
- Từ đó suy ra

* Chứng minh

- Chứng minh
EAD đồng dạng với
ECB (cgc)
- Suy ra

Câu b: - Từ
= 120o

= 60o

= 30o
- Xét
EDB vuông tại D có
= 30o

ED =
EB


- Lý luận cho
từ đó
SECB = 144 cm2
Câu c: - Chứng minh
BMI đồng dạng với
BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi
Cách 2: Có thể biến đổi BM